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THEORIE DE LA MESURE, INTEGRATION ET PROBAS
THEORIE DE LA MESURE
*Tribus, mesures, théorème de Dynkin. Intégration abstraite : intégration des fonctions mesurables positives, théorème de convergence monotone et de Fatou ; fonctions intégrables, convergence dominée, de dérivation sous le signe somme.
*Construction de mesures : théorème d'extension de Carathéodory. Cas de la mesure de Lebesgue sur R^d. Formule de changement de variables. Intégrale de Stieljes, mesures de Radon, théorème de représentation de Riesz.
*Mesures produits, théorèmes de Fubini-Tonelli et Fubini-Lebesgue. Intégration par parties.
*Espaces Lp, inégalité de Jensen, Hölder et Minkowski, théorèmes de densité (pas de preuves ici, la théorie générale n'est pas faite dans ce cours). Dérivée de Radon Nykodyn.
*Construction de mesures : théorème d'extension de Carathéodory. Cas de la mesure de Lebesgue sur R^d. Formule de changement de variables. Intégrale de Stieljes, mesures de Radon, théorème de représentation de Riesz.
*Mesures produits, théorèmes de Fubini-Tonelli et Fubini-Lebesgue. Intégration par parties.
*Espaces Lp, inégalité de Jensen, Hölder et Minkowski, théorèmes de densité (pas de preuves ici, la théorie générale n'est pas faite dans ce cours). Dérivée de Radon Nykodyn.
INTRODUCTION AUX PROBABILITES
*Introduction historique. Langage probabiliste et modélisation.
*Variables aléatoires, espérance mathématiques. Loi d'une variable aléatoire et lois classiques. Théorème de représentation de Skorokhod. Notion de tribu engendrée par une variable aléatoire. Moments, fonctions caractéristiques. Fonctions génératrices.
*Indépendance: définitions et caractérisations. Théorème des coalitions. Tribu asymptotique, loi du tout ou rien, lemmes de Borel-Cantelli. Loi fortes des grands nombres. Applications.
*Convergence en loi : définitions et caractérisations, théorème de Levy. Comparaison des différents modes de convergences. Théorème central limite. Applications.
*Variables aléatoires, espérance mathématiques. Loi d'une variable aléatoire et lois classiques. Théorème de représentation de Skorokhod. Notion de tribu engendrée par une variable aléatoire. Moments, fonctions caractéristiques. Fonctions génératrices.
*Indépendance: définitions et caractérisations. Théorème des coalitions. Tribu asymptotique, loi du tout ou rien, lemmes de Borel-Cantelli. Loi fortes des grands nombres. Applications.
*Convergence en loi : définitions et caractérisations, théorème de Levy. Comparaison des différents modes de convergences. Théorème central limite. Applications.