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Accueil > Formations > Formation Math ENS Paris-Saclay > Cours de L3 1ere année

Résumé des cours de L3 (S5)

ALGEBRE

  • THEORIE DES GROUPESEchantillonage irrégulier par homographie : stage de L3 promo 2015. (J.-T. De Laroche de Saint-André)
  1. Définitions (sous-groupe, sous-groupe distingué, quotient, factorisation d'un morphisme...) Ordre d'un groupe fini. Théorème de Lagrange. Exemples des groupes cycliques.
  2. Opération d'un groupe sur un ensemble : orbites, stabilisateurs. Exemples d'opérations usuelles. Classes de conjugaison dans un groupe, classes de conjugaison de sous-groupes... Applications : p-groupes, théorèmes de Sylow,...
  3. Parties génératrices de groupes .
  4. Décomposition d'un groupe : produits directs et semi-directs.
  5. Groupes classiques (linéaire, orthogonal...)
  6. Exemples de groupes simples.

  • THEORIE DES ANNEAUX
  1. Définitions (anneaux, idéaux, quotients, factorisation d' un morphisme)
  2. Anneaux principaux, anneaux euclidiens.
  3. k[X]. Polynômes irréductibles

  • THEORIE DES CORPS
  1. Corps de fractions d'un anneau intègre. Q. K(X).
  2. Caractéristique d'un corps. Sous-corps premier. Homomorphisme de Frobénius en caractéristique p.
  3. Corps finis.

ANALYSE DE HILBERT ET FOURIER

Suppression du bruit avec un filtre coupe-bande :  m*fImage avec bruit périodique : f
  • L'intégrale de Lebesgue (traitement axiomatique)
  • Espaces Lp
  • Espaces de Hilbert: algèbre et géométrie
  • Espaces de Hilbert: analyse
  • Séries de Fourier (exemples concrets de bases Hilbertiennes)
  • Autres bases Hilbertiennes
  • Transformée de Fourier discrète
  • Transformée de Fourier
  • Interlude: Vue d'ensemble des applications de l'analyse de Fourier
    • Applications dans autres branches des mathématiques:
    • Applications au traitement d'image:
  • Distributions
  • Espaces de Sobolev périodiques en dimension 1
  • Espaces de Sobolev périodiques en dimension 2
  • EDP linéaires dans les espaces de Sobolev périodiques
  •  Interprétation variationnelle de ces EDP

ANALYSE NUMERIQUE DES EDO

  • OBJECTIFSPendule Forcé
    Lorsque les systèmes d'équations différentielles ordinaires n'interviennent pas directement dans la modélisation des phénomènes physiques, chimiques, biologiques ou bien encore dans les modèles financiers, ces systèmes apparaissent après des semi-discrétisation en espace d'EDP, il s'agit alors de systèmes pouvant aller jusqu'à plusieurs centaines de millions d'inconnues. Les questions qui se posent naturellement portent sur l'existence, l'unicité et la durée de vie des solutions mais encore le comportement pour des temps grands... Les systèmes disposant de solutions s'exprimant facilement de façon explicite sont plutôt rares en particulier pour les grands systèmes, l'étude qualitative et/ou numérique s'avère un outil mathématique essentiel. Les questions qu'il convient alors de se poser portent sur la qualité et la précision des solutions numériques, sur la conservation des propriétés physiques, sur le comportement des solutions transitoires ou à long terme.
    Ce cours regarde ces questions et s'intéresse également aux méthodes de quadrature, d'interpolation et de résolution des problèmes non linéaires forts utiles pour la construction de schémas. L'étude d'EDO avec retard, avec des termes intégro-différentiel, ou bien avec des conditions aux limites pourra être succinctement abordée.

  • PLAN DU COURS
    Méthode de Monte Carlo. L. Besson, Promo 2011.
  1. Théorème d'existence et unicité de solutions
  2. Systèmes différentiels linéaires et non linéaires. Analyse qualitative. Etude des points critiques. Théorème de stabilité de Lyapunov.
  3. Méthodes numériques pour la résolution des EDO.
  4. Applications aux problèmes aux limites.
  5. Représentation des nombre réels et étude des erreurs d'arrondi
  6. Interpolation et intégration approchée
  7. Résolution d'équations non linéaires

  • ORGANISATION
    Les notions de cours sont illustrées par des TP hebdomadaires en python. La validation des acquis est composée d'un examen en 2 parties (théorique et numérique) et d'une note de contrôle continu (devoirs et études de textes).

THEORIE DE LA MESURE, INTEGRATION ET PROBAS

Analyse de signatures dynamiques en simulations de dynamique moléculaire : stage L3 Promo 2015. (J. Cazalis - V. Debavelaere)
  • THEORIE DE LA MESURE

    1. Tribus, mesures, théorème de Dynkin. Intégration abstraite : intégration des fonctions mesurables positives, théorème de convergence monotone et de Fatou ; fonctions intégrables, convergence dominée, de dérivation sous le signe somme.
    2. Construction de mesures : théorème d'extension de Carathéodory. Cas de la mesure de Lebesgue sur R^d. Formule de changement de variables. Intégrale de Stieljes, mesures de Radon, théorème de représentation de Riesz.
    3. Mesures produits, théorèmes de Fubini-Tonelli et Fubini-Lebesgue. Intégration par parties.
    4. Espaces Lp, inégalité de Jensen, Hölder et Minkowski, théorèmes de densité (pas de preuves ici, la théorie générale n'est pas faite dans ce cours). Dérivée de Radon Nykodyn. 

  • INTRODUCTION AUX PROBABILITES
    1. Introduction historique. Langage probabiliste et modélisation.
    2. Variables aléatoires, espérance mathématiques. Loi d'une variable aléatoire et lois classiques. Théorème de représentation de Skorokhod. Notion de tribu engendrée par une variable aléatoire. Moments, fonctions caractéristiques. Fonctions génératrices.
    3. Indépendance: définitions et caractérisations. Théorème des coalitions. Tribu asymptotique, loi du tout ou rien, lemmes de Borel-Cantelli. Loi fortes des grands nombres. Applications.
    4. Convergence en loi : définitions et caractérisations, théorème de Levy. Comparaison des différents modes de convergences. Théorème central limite. Applications. 


TOPOLOGIE et CALCUL DIFFERENTIEL

Méthode du gradient
  • Topologie générale
  • Théorème du point fixe
  • Théorème de Cauchy-Lipschitz
  • Différentiabilité, inégalité de la moyenne et formules de Taylor
  • Théorèmes d'inversion locale et théorèmes des fonctions implicites, submersion, immersion, théorème du rang constant
  • Sous-variétés de Rn
  • Optimisation